Lưu ý về tính nhạy cảm thay đổi, ngưỡng miễn dịch của đàn và mô hình hóa các bệnh truyền nhiễm

trừu tượng

Rất khó dự đoán diễn biến của đại dịch COVID{0}} bằng cách sử dụng mô hình toán học cho các bệnh truyền nhiễm. Mặc dù người ta đã chứng minh rằng những thay đổi về tính nhạy cảm có tác động làm giảm các đại lượng quan trọng như đỉnh tỷ lệ mắc bệnh, ngưỡng miễn dịch của đàn và quy mô cuối cùng của đại dịch, nhưng hiện tượng phức tạp này hầu như không thể đo lường hoặc định lượng và vẫn chưa rõ ràng. cách kết hợp nó để lập mô hình và dự đoán. Trong nghiên cứu này, chúng tôi chỉ ra rằng, từ góc độ mô hình hóa, sự thay đổi về tính nhạy cảm ở cấp độ cá nhân tương đương với một phần θ dân số có khả năng miễn dịch khử trùng "nhân tạo". Chúng tôi cũng rút ra các công thức mới về ngưỡng miễn dịch của đàn và quy mô cuối cùng của đại dịch, đồng thời cho thấy rằng các giá trị này thấp hơn đáng kể so với dự đoán của các công thức cổ điển khi có mức độ nhạy cảm thay đổi. Trong trường hợp cụ thể của SARS-CoV-2, chắc chắn hiện nay có nhiều mức độ nhạy cảm khác nhau do khả năng miễn dịch suy giảm đối với cả vắc xin và các lần nhiễm trùng trước đó, và những phát hiện của chúng tôi có thể được sử dụng để đơn giản hóa đáng kể các mô hình. Nếu những biến đổi như vậy cũng xuất hiện trước đợt đầu tiên, như được chỉ ra bởi một số nghiên cứu, thì những phát hiện này có thể giúp giải thích tại sao cường độ của các đợt SARS-CoV-2 ban đầu lại tương đối thấp so với những gì người ta có thể đã kỳ vọng dựa trên các mô hình chuẩn.

cistanche tubulosa-cải thiện hệ thống miễn dịch

1. Giới thiệu

Do các công trình cơ bản của Kermack và McKendrick [1–3] các mô hình toán học từng phần (như SIR, SEIR, v.v.) được sử dụng để mô hình hóa sự lây lan của các bệnh truyền nhiễm. Trong số những điều khác, những bài báo này đã giới thiệu giá trị R{3}}nổi tiếng hiện nay và cho thấy rằng trái ngược với trực giác của con người, bệnh truyền nhiễm sẽ không bao giờ lây nhiễm cho toàn bộ dân chúng, bất kể mức độ lây nhiễm như thế nào. Thay vào đó, tỷ lệ mắc bệnh sẽ bắt đầu giảm khi tỷ lệ người khỏi bệnh đạt đến cái gọi là "Ngưỡng miễn dịch bầy đàn", mà họ đã suy ra công thức nổi tiếng. Tuy nhiên, trước đại dịch SARS-CoV-2, không có dữ liệu đáng tin cậy về một loại virus mới (ảnh hưởng đến con người) mà dự đoán này có thể được kiểm tra. Thật không may, điều này phần lớn vẫn xảy ra, vì ví dụ như khóa cửa và cách ly tự nguyện (điều mà các mô hình không thể dự đoán) đã có ảnh hưởng lớn đến sự lây lan. Mặc dù vậy, dữ liệu từ những nơi như Thụy Điển, nơi thực hiện tương đối ít việc ngăn chặn sự lây truyền trong cộng đồng, chỉ ra rằng các mô hình toán học có xu hướng đánh giá quá cao cường độ của làn sóng trong một đợt bùng phát lớn [4]. Một số yếu tố được biết là có tác động giảm chấn lên các đường cong của mô hình. Một ví dụ như vậy là tính nhạy cảm thay đổi, xem ví dụ Ch. 1 và 3 trong [5], và các bài viết [6–9]. Bằng mức độ nhạy cảm thay đổi, ở đây chúng tôi đề cập đến sự khác biệt (không thay đổi theo thời gian) giữa các cá nhân về xác suất bị nhiễm bệnh, với mức độ phơi nhiễm nhất định với vi rút, trái ngược với các biến thể của từng cá nhân theo thời gian. Các kết quả tương tự cũng đã được thiết lập về mặt số lượng đối với các yếu tố không đồng nhất khác, chẳng hạn như tuổi tác và hoạt động [10]. Điều kỳ lạ là khả năng lây nhiễm thay đổi (siêu lây lan) không có bất kỳ tác dụng giảm thiểu nào đối với sự lây lan trong một đợt bùng phát lớn [11]. Trong mọi trường hợp, những kết luận như vậy được rút ra bằng cách sử dụng các lập luận suy nghiệm hoặc đơn giản bằng cách kiểm tra các mô hình có liên quan và cơ chế đằng sau những hiện tượng này vẫn chưa được hiểu rõ. Đặc biệt, vì hầu như không thể định lượng được sự thay đổi về mức độ nhạy cảm nên vẫn chưa rõ cách kết hợp nó vào các mô hình một cách hiệu quả. Do đó, việc dự đoán về các đợt COVID{18}} trong tương lai hoặc đại dịch tiếp theo tiếp tục là một thách thức lớn.

cistanche tubulosa-cải thiện hệ thống miễn dịch

Cụ thể, giả sử một bệnh truyền nhiễm mới, có động lực lây truyền liên quan đến sự biến đổi cao về khả năng lây nhiễm và/hoặc tính nhạy cảm, được đưa vào một mạng lưới được kết nối tốt như một thành phố lớn và giả sử một đợt bùng phát lớn sắp xảy ra. Sau đó, người ta có thể ước tính R0, tức là ước tính sơ bộ về số ca nhiễm mới trung bình mà một bệnh lây nhiễm gây ra, từ chuỗi dữ liệu về các trường hợp ban đầu, sử dụng ví dụ EpiEstim [12] hoặc [13]. Bằng nghiên cứu theo dõi liên hệ, người ta cũng có thể ước tính Thời gian tạo thế hệ, đây là tham số khác cần thiết để chạy mô hình SIR. Trong tình huống như vậy, người ta có thể đặt câu hỏi liệu đầu ra của một mô phỏng SIR đơn giản có phải là sự gần đúng bậc một tốt về những gì sắp xảy ra hay không, trong trường hợp không có các Can thiệp phi dược phẩm. Công thức (1) có phải là một chỉ báo tốt về thời điểm chúng ta dự đoán đợt bùng phát sẽ bắt đầu giảm bớt không? Dựa trên dữ liệu từ Thụy Điển trong đại dịch COVID-19, câu trả lời dường như là không, xem [4] trong đó cho thấy tỷ lệ mắc bệnh giảm xuống một cách bất ngờ ở mức tỷ lệ nhiễm huyết thanh thấp hơn nhiều so với dự đoán của (1). Trong số các nghiên cứu lý thuyết trước đây về chủ đề này, bài báo gần nhất trả lời được các câu hỏi trên là Britton et. al. [10], trong đó các tác giả chứng minh rằng các biến thể trong mô hình hoạt động có thể làm giảm đáng kể ngưỡng miễn dịch của đàn, so với ước tính cổ điển dựa trên (1). Một ấn phẩm cũ hơn có thông điệp tương tự là [14]. Tuy nhiên, những kết luận này là những quan sát thực nghiệm dựa trên các mô hình đã được xây dựng để kết hợp tính không đồng nhất về dân số. Hiệu ứng giảm chấn này chưa được thiết lập về mặt toán học và vẫn chưa rõ ràng về cách thức và mức độ các tính không đồng nhất khác nhau được biểu hiện như thế nào và ở mức độ nào. Đặc biệt, vẫn chưa rõ làm thế nào để dự đoán chính xác hơn ngưỡng miễn dịch của đàn. Chúng tôi nhận thấy rằng, trong trường hợp SARS-CoV{16}}, một số yếu tố như khả năng miễn dịch di truyền, phản ứng chéo và khả năng miễn dịch bẩm sinh đã được chứng minh là mang lại sự thay đổi về độ nhạy cảm [15–18].

cistanche tubulosa-cải thiện hệ thống miễn dịch

Nhấn vào đây để xem các sản phẩm Tăng cường miễn dịch Cistanche

【Hỏi thêm] Email:cindy.xue@wecistanche.com / Whats App: 0086 18599088692 / Wechat: 18599088692

1.1 Đóng góp mới

Trong nghiên cứu này, chúng tôi chứng minh về mặt toán học rằng những thay đổi về tính nhạy cảm có tác động giảm dần trên các đường cong của mô hình, trong khi những thay đổi về mức độ lây nhiễm thì không (miễn là nó không tương quan với yếu tố trước, xem [7]). Quan trọng hơn, chúng tôi cũng nhận thấy rằng phân phối (thường không xác định) mô tả mức độ nhạy cảm thay đổi là không cần thiết để lập mô hình chính xác. Chính xác hơn, chúng tôi chỉ ra rằng mô hình không đồng nhất về độ nhạy sẽ hoạt động gần như giống hệt với mô hình SIR tiêu chuẩn (đồng nhất) trong đó một phần dân số có khả năng miễn dịch khử trùng và hình dạng chính xác của phân bố độ nhạy chỉ ảnh hưởng đến mức độ miễn dịch khử trùng. Điều quan trọng cần nhấn mạnh là khả năng miễn dịch này chỉ tồn tại trong phạm vi đơn giản hóa mô hình toán học và không nên nhầm lẫn với khả năng miễn dịch khử trùng thực sự của một số cá nhân. Nói cách khác, ngay cả khi tất cả mọi người đều dễ bị nhiễm vi-rút (ở một mức độ nào đó), ở cấp độ dân số, có vẻ như một phần dân số có khả năng miễn dịch khử trùng. Chúng ta sẽ gọi khả năng miễn nhiễm như vậy, cần thiết cho mô hình toán học chính xác, là "Khả năng miễn dịch khử trùng nhân tạo" (ASI) và tỷ lệ dân số có nó là θ. Miễn là θ có thể được ước tính từ dữ liệu có sẵn, chúng tôi cho thấy ngưỡng miễn nhiễm thực tế thực sự thấp hơn dự đoán (1). Công thức đúng, khi có độ nhạy thay đổi, được đưa ra bởi

và quy mô cuối cùng của đại dịch cũng bị thu hẹp lại theo hệ số tương tự (1 − θ). Chúng tôi cũng sẽ chứng minh bằng số lượng rằng sự không đồng nhất về dân số khác, chẳng hạn như những gì được Britton et. al. [10], có tác dụng tương tự, và do đó những phát hiện trong bài viết này có thể được sử dụng để giảm đáng kể số lượng những điều chưa biết trong một mô hình không đồng nhất thực tế hơn về sự lây lan của bệnh tật.

2 Toán học về động lực lây lan của bệnh truyền nhiễm

Để giải thích các phát hiện toán học, trước tiên chúng tôi đưa ra cái nhìn tổng quan về cách thức hoạt động của mô hình cơ bản. SIR là viết tắt của Susceptibles, Infectives và Recovered, và là dạng đơn giản nhất của "mô hình ngăn" được sử dụng trong dịch tễ học toán học (xem ví dụ [19] để biết phần giới thiệu về lĩnh vực này). Trong mô hình, S, I và R là các hàm theo thời gian t và để minh họa mối liên hệ giữa chúng, chúng ta cũng sẽ giới thiệu hàm (dư thừa) ν mô tả tỷ lệ mắc, tức là số lượng người mới bị nhiễm mỗi ngày (đừng nhầm lẫn). với I, mô tả mức độ phổ biến). Công thức cho ν(t) là trọng tâm của thuật toán và ngay từ đầu, chúng ta chỉ cần có ν(t)=I(t), trong đó là hằng số xác định số ca nhiễm mới trung bình phát sinh trong một ngày. Nếu a là số lần tiếp xúc trung bình hàng ngày có khả năng lây nhiễm của một người bình thường và p là xác suất mà việc tiếp xúc đó thực sự dẫn đến lây truyền thì=ap. Khi số lượng người dễ mắc bệnh giảm dần, chúng ta phải sửa đổi điều này bằng cách nhân với tỷ lệ dân số vẫn còn dễ mắc bệnh. Nếu tổng dân số là N thì phân số này là S(t)/N và công thức trở thành

Để thiết lập các phương trình còn lại, chúng ta cũng cần thời gian thế hệ Tthế hệ, tức là thời gian trung bình từ khi lây nhiễm đến khi phục hồi. Khi đó các phương trình còn lại là

trong đó σ {0}}/Tthế hệ và 0 biểu thị sự khác biệt. Các phương trình dễ hiểu về mặt trực quan, tỷ lệ mắc liên tục được rút khỏi S và thêm vào I, đồng thời, có một dòng phục hồi các cá thể rời khỏi I ở tốc độ σI và thay vào đó xuất hiện trong R.

Hình 1. Đồ thị của R được phục hồi và tỷ lệ lưu hành I. (a) Đồ thị của R được phục hồi (dưới dạng một phần của tổng dân số) cho các mô hình SIR khác nhau và giá trị cố định của R0=1.66. Đầu tiên, chúng tôi hiển thị SIR tiêu chuẩn, sau đó là S-SIR và cuối cùng là SIR với Miễn dịch khử trùng nhân tạo (ASI) với các thông số từ (8). Lưu ý rằng chúng bắt đầu gần như giống hệt nhau nhưng hai cái sau uốn cong xuống sớm hơn nhiều so với cái đầu tiên, vượt quá Ngưỡng miễn dịch bầy đàn (HIT) cổ điển, trong khi hai cái sau nằm sát nhau và ngang bằng với HIT cổ điển. (b) Các đường cong tương ứng về mức độ phổ biến I (Biểu đồ được hiển thị độc lập trong Hình 2).

SIR và các phần mở rộng của chúng có tính xác định theo nghĩa là nếu chúng tôi chạy nó hai lần thì kết quả sẽ như nhau. Những mô hình như vậy được cho là hoạt động tốt trong các đợt bùng phát lớn, nơi áp dụng luật số lớn [5, 11]. Tất cả những phát hiện của chúng tôi đều liên quan đến tình huống này; để lập mô hình, ví dụ: giai đoạn ban đầu hoặc truyền tải hộ gia đình, các loại mô hình khác được sử dụng. Điều kiện ban đầu tự nhiên nhất đối với một căn bệnh mới là đặt I(0)=n trong đó n << N represents a small number of import cases arriving at time t = 0, and then set S(0) = N − n and R(0) = 0 (so everybody else is initially susceptible and no-one has yet recovered). The value of n is completely irrelevant to the shape of the curves that follow, a low value of n only gives the equation system a slower start so it takes a while longer for the outbreak to reach a certain value. Once this happens, the curves look the same independent of the value n. See the blue graphs in Fig 1 for some typical examples of R-curves and I-curves. In this model, R is always increasing and levels out on a number which is called "the final size of the pandemic" (see Fig 1a). S approximatively looks like N − R, since the prevalence I at any given time is small in comparison with the total population. The incidence ν typically looks just like I, albeit with a lower magnitude.

2.1 Các mô hình hiện đại cho dịch bệnh COVID-19

Các mô hình hiện đại được các nhóm lập mô hình chuyên nghiệp sử dụng thường chứa nhiều ngăn hơn SIR, chẳng hạn như liên quan đến phân tầng độ tuổi, mức độ hoạt động khác nhau, khu vực địa lý, ngăn dành cho những người cần ICU và ngăn dành cho những người chết. Ví dụ: mô hình được công bố bởi các thành viên của nhóm phản ứng COVID{0}} của Đại học Hoàng gia [20] có gốc là SIR cơ bản (xem trang 9 cũng như Hình S2 trong tài liệu bổ sung của [ 20]), và điều tương tự cũng xảy ra với mô hình [21] được sử dụng bởi một nhóm lập mô hình nổi tiếng của Thụy Điển, đã tìm cách điều chỉnh tỷ lệ sử dụng phòng ICU và số ca tử vong với độ chính xác cao trong đợt đầu tiên ở Thụy Điển. Mô hình sau cũng tính đến các vùng khác nhau và các kiểu tương tác giữa các vùng này, nhưng động lực trong vùng là một SEIR đơn giản. Người ta cũng thường thêm ngăn E cho "Exposite", kết hợp với thời gian ủ bệnh (như đã thực hiện trong hai ví dụ trên). Tuy nhiên, như chúng tôi sẽ trình bày trong Phần 4, điều này có ảnh hưởng hạn chế đến hành vi tổng thể. Bằng cách này, chúng tôi muốn nói rằng, đối với mỗi bộ giá trị tham số (R0, thời gian ủ, v.v.) cho SEIR, có thể có được một đường cong gần như giống hệt với SIR (và ngược lại), nếu chúng ta được phép thay đổi tham số giá trị một chút. Vì giá trị chính xác của các tham số này không bao giờ được biết, điều này có nghĩa là vì mục đích thực tế, người ta có thể dựa vào SIR cũng như SEIR, ít nhất là để hiểu các xu hướng tổng thể. Ví dụ: trong Hình 3, chúng tôi trình bày một ví dụ về SEIR và SIR với các giá trị R{10}}khác nhau 1% và các biểu đồ gần như giống hệt nhau. Ví dụ, quy mô cuối cùng của đại dịch chênh lệch ít hơn 1,5%. Hơn nữa, các ngăn liên quan đến bệnh nặng và tử vong cũng có ảnh hưởng không đáng kể đến hành vi tổng thể, đơn giản vì chỉ một phần nhỏ người nhiễm bệnh sẽ ở trong các ngăn này. Dựa trên điều này, chúng tôi lập luận rằng để hiểu được hành vi tổng thể chung, như chúng tôi quan tâm ở đây, chỉ cần nghiên cứu mô hình SIR đơn giản hơn là đủ. Để biết các nỗ lực khác nhằm dự đoán/tạo mô hình SARS-CoV-2 bằng cách sử dụng mô hình loại SIR/SEIR, hãy xem ví dụ [22, 23].

Ngược lại, các loại không đồng nhất khác như mức độ hoạt động khác nhau và các kiểu tương tác khác nhau giữa các nhóm tuổi, có tác động giảm chấn đáng chú ý trên các đường cong mô hình. Ví dụ, SEIR phân tầng hoạt động theo độ tuổi của Britton et. al. [10] có tỷ lệ mắc cao nhất thấp hơn khoảng 35% so với SIR tiêu chuẩn, với các thông số đầu vào tương tự. Điều này phù hợp với những phát hiện trong [10], trong đó Ngưỡng miễn dịch bầy đàn giảm khoảng 30% được quan sát thấy đối với mô hình hoạt động theo độ tuổi, so với dự đoán (1) dựa trên SIR. Điều này sẽ được thảo luận thêm ở Phần 4.2. Ngoài ra, tính nhạy cảm thay đổi có ảnh hưởng lớn, nhưng điều này đã được thảo luận trong phần giới thiệu và được phân tích sâu hơn ở Phần 3.

2.2 Mô hình và thực tế không phù hợp?

Khó xác định liệu các mô hình tiên tiến hơn có mô tả chính xác sự lây lan của COVID-19 hay không, vì người ta luôn có thể lập luận rằng các biện pháp can thiệp phi dược phẩm (NPI), cũng như những thay đổi hành vi tự nguyện, đã có tác động lớn. Không khẳng định mình có câu trả lời chắc chắn, trường hợp của Thụy Điển rất thú vị do chiến lược thoải mái của nước này, hơn nữa, chiến lược này được giữ gần như không đổi trong giai đoạn 2020–2021. Đặc biệt, các trường học vẫn mở cửa, những người không thể làm việc tại nhà được khuyến khích đi làm, thành viên gia đình của các hộ gia đình bị nhiễm bệnh buộc phải đi làm hoặc đi học, và việc sử dụng khẩu trang rộng rãi không bao giờ được thực hiện, khiến đất nước này trở thành nơi lý tưởng. để so sánh mô hình với dữ liệu thực tế. Do không đủ xét nghiệm, chuỗi thời gian của các trường hợp có giá trị hạn chế, nhưng các phép đo tỷ lệ huyết thanh từ các mẫu máu cung cấp thông tin có giá trị vì người ta đã chứng minh rằng hầu hết những người mắc COVID-19 cũng tiếp tục phát triển các kháng thể [ 24] và những kháng thể này tồn tại ít nhất 9 tháng [25, 26]. Kết quả do Cơ quan Y tế Công cộng Thụy Điển công bố [27] chỉ ra rằng khoảng 11% đã mắc COVID-19 ở khu vực Stockholm sau đợt đầu tiên của năm 2020, tỷ lệ này đã tăng lên khoảng 22% vào tháng 2 năm 2021, sau đợt thứ hai. Cũng trong số các nhân viên bệnh viện ở Thụy Điển (không sử dụng khẩu trang), tỷ lệ lưu hành là khoảng 20% ​​[26] sau đợt đầu tiên, phù hợp với quan sát từ các hộ gia đình bị nhiễm bệnh ở nơi khác [28].

cistanche tubulosa-cải thiện hệ thống miễn dịch

Tuy nhiên, mô hình của Sjo¨din et. al., đã đề cập trước đó, dự đoán số người nhiễm bệnh tích lũy khoảng 30% sau đợt đầu tiên, mặc dù giả định số lần tiếp xúc ở những người trong độ tuổi 0–59 giảm 56% và giảm 98% ở những người đó. ở độ tuổi 60–79 (đây là kịch bản d phù hợp chính xác với tỷ lệ sử dụng ICU và tử vong, xem Hình 2b, lưu ý rằng khu vực Stockholm có 2,4 triệu dân). Cùng quan điểm đó, Britton et. al. [10] ước tính rằng căn bệnh này có thể bùng phát ở mức khoảng 43% tổng số người nhiễm bệnh trong vài tháng. Mặc dù các tác giả nhấn mạnh rằng đây không phải là dự đoán thực tế nhưng nó dựa trên các thông số thực tế về COVID-19. Báo cáo nổi tiếng 9 của Imperial College [29] dự đoán tổng số 81% người bị nhiễm trong kịch bản "không làm gì", dựa trên cái gọi là "mô hình dựa trên tác nhân" tiên tiến hơn cũng xử lý riêng những người tiếp xúc trong gia đình. Theo Bảng 3 trong báo cáo, số ca tử vong và công suất ICU cao nhất có thể giảm lần lượt là 50% và 81% trong kịch bản NPI hiệu quả nhất, chắc chắn vượt xa những gì đã được thực hiện ở Thụy Điển. Tuy nhiên, tính đến tháng 2 năm 2021, khi chủng virus Vũ Hán ban đầu đang suy giảm [30], những dự đoán giảm này đã đánh giá quá cao con số thực tế với hệ số khoảng 4 (tử vong) và 10 (ICU) (khi được dịch trực tiếp sang Hạt Stockholm).

Hình 2. Đồ thị độ nhạy S. Đường cong S tương ứng với 3 đồ thị trong Hình 1. Như trong Hình 1, màu xanh đen và hồng đã được chuẩn hóa bằng phép chia cho N. Do đó, đường cong màu đen biểu thị tỷ lệ của tổng dân số dễ bị nhiễm virus. Lưu ý rằng khi đại dịch kết thúc, khoảng 68% vẫn dễ mắc bệnh, trái ngược hoàn toàn với SIR cổ điển ở mức khoảng 34%. Đường cong màu hồng bắt đầu với giả định 57% có khả năng miễn dịch khử trùng nhân tạo và do đó giá trị ban đầu của nó là 43% (con số này được chọn bằng công thức (8)). Lưu ý rằng đường cong màu hồng trông giống hệt đường màu đen ngoại trừ đường dịch dọc, minh họa cho những phát hiện chính của bài viết này. Mô hình S-SIR có ba nhóm con S1, S2 và S3 tương ứng với p1=1 (được gắn nhãn "siêu nhạy cảm"), p2=0.1 (được gắn nhãn "bình thường") và p{{ 17}}.02 (được gắn nhãn "được bảo vệ tốt"). Ở đây, chúng tôi đã chuẩn hóa số lượng người trong mỗi nhóm phụ tương ứng, do đó, tất cả các đường cong đều bắt đầu từ 1. Lưu ý mức độ lây lan ở hai nhóm phụ sau sẽ giảm dần như thế nào ngay khi nó giảm dần trong nhóm siêu nhạy cảm.

Vấn đề ở đây là không phê phán bất kỳ mô hình cụ thể nào, và rõ ràng, chỉ riêng trường hợp của Thụy Điển không thể chứng minh các mô hình đó là đúng hay sai như đã đề cập ban đầu. Tuy nhiên, dựa trên sự khác biệt lớn giữa dữ liệu thực tế của Thụy Điển và các kết quả khác nhau của mô hình được mô tả ở trên, một câu hỏi chính đáng là liệu “các mô hình đương đại” có xu hướng đánh giá quá cao mức độ lây lan trong xã hội và quy mô cuối cùng của đại dịch hay không. Chúng tôi thấy có khả năng câu trả lời là có và hỗ trợ thêm cho giả thuyết này được đưa ra trong [4]. Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh rằng tính nhạy cảm thay đổi là một yếu tố góp phần gây ra hiện tượng này.

2.3 Tiền miễn dịch, siêu lây lan và các tính chất không đồng nhất khác

Làm thế nào chúng ta có thể thay đổi hệ phương trình (3) và (4) để làm giảm các đường cong? Lựa chọn đơn giản nhất là giả định rằng một phần θ nhất định của dân số có một số dạng miễn dịch khử trùng để họ không thể bị nhiễm vi rút. Về mặt toán học, điều này có thể dễ dàng đạt được bằng cách cập nhật các điều kiện ban đầu thành

trong đó ω {0}} − θ là tỷ lệ nhạy cảm ban đầu. Tuy nhiên, điều này không thực tế lắm vì khả năng miễn nhiễm thường không phải là nhị phân, tức là 0% hoặc 100% (còn gọi là khả năng miễn dịch khử trùng). Giả thuyết cho rằng một số người dễ mắc bệnh hơn những người khác khi đó sẽ hợp lý hơn nhiều so với khả năng miễn dịch nhị phân. Trong trường hợp cụ thể của SARS-CoV-2, giả thuyết cho rằng một số cá nhân có một số dạng tiền miễn dịch đã được đề xuất trong nhiều ấn phẩm khác nhau như một lời giải thích cho các đợt lây nhiễm ban đầu nhẹ bất ngờ, ít nhất là theo một số người, đối với ví dụ [31]. Bài viết này cũng liệt kê một số nghiên cứu cho thấy một số người có khả năng miễn dịch tế bào T tiên nghiệm. Kể từ đó, các bài viết khác nhau đã chứng minh các cơ chế khác nhau khiến một số cá nhân ít nhiều nhạy cảm với SARS-CoV{10}}, ví dụ: [15–18]. Người ta cũng chứng minh rõ ràng rằng mức độ lây nhiễm thay đổi đáng kể, như đã đề cập trước đó (xem ví dụ [32]). Ngoài ra, điều này dường như không liên quan đến mức độ bệnh tật của họ; nhiều người có lượng virus rất cao thậm chí không có triệu chứng. Do đó, giả định có khả năng xảy ra nhất là cách vi-rút xâm nhập vào người có thể có sự khác biệt lớn ở từng cá nhân.

Để tạo ra một mô hình thực tế hơn về sự lây lan của COVID-19 hoặc bất kỳ bệnh truyền nhiễm nào về vấn đề đó, việc chia ngăn S và I thành một số ngăn phụ S1 là hợp lý. . ., SJ và I1, . . ., IK nơi mọi người ở mỗi ngăn có mức độ nhạy cảm/lây nhiễm khác nhau. Để biết cách thiết lập hệ phương trình tương ứng về mức độ lây lan của bệnh tật, hãy nhớ lại rằng a là số lần tiếp xúc hàng ngày của một cá nhân. Bây giờ chúng ta gọi pjk là xác suất để một sự tiếp xúc như vậy dẫn đến lây truyền khi một cá thể trong Sj gặp một cá thể trong Ik. Tỷ lệ νj đến từ nhóm Sj sau đó trở thành

(xem (3)). Vì chúng tôi giả định không có mối tương quan giữa khả năng lây nhiễm và tính nhạy cảm nên tổng số lượng người lây nhiễm mới ν1 + . . . + νJ sau đó được phân bố vào các nhóm I1, . . ., IK theo kích thước tương đối của chúng. Các phương trình còn lại trong (4) có thể dễ dàng sửa đổi theo cách thiết lập vectơ mới này, chúng ta tham khảo Phần. 1 trong Tệp S1 để biết chi tiết. Trong phần tiếp theo, chúng tôi phân tích hành vi của hệ phương trình này và trong Phần 4, chúng tôi cũng thảo luận về các phần mở rộng khác như SEIR và các mức độ hoạt động thay đổi.

3 Kết quả chính

Điểm chính của nghiên cứu này là các phần mở rộng cho cả SIR và SEIR thuộc loại được đề cập ở trên mang lại các đường cong tổng thể chỉ khác một chút so với SIR cơ bản, bao gồm cả mức độ Miễn dịch Khử trùng Nhân tạo (ASI). Trước hết, sau khi thiết lập các chi tiết trong Mục 1 của Tệp S1, chúng tôi chứng minh trong Mệnh đề 1.1 rằng việc chia I thành các ngăn con khác nhau không có tác dụng gì, hỗ trợ thêm cho kết luận trong [8, 9, 11]. Nói cách khác, sự tồn tại của "siêu lây lan" không ảnh hưởng đáng kể đến động lực lây lan của bệnh tật. Loại bỏ lớp phức tạp này, phương trình (6) đơn giản hóa thành

trong đó pj là xác suất lây truyền khi một người dễ mắc bệnh trong nhóm Sj gặp một cá thể có khả năng lây nhiễm "trung bình". Chúng tôi tham khảo phương trình (14)-(16) trong Tệp S1 để biết hệ phương trình đầy đủ mà chúng tôi gắn nhãn S-SIR là "SIR phân tầng nhạy cảm". Có một thực tế rất đáng tò mò là, trái ngược với I, việc chia S thành các phần nhỏ không thể được rút gọn về mặt toán học thành một hệ phương trình đơn giản hơn. Tuy nhiên, và đây là kết quả chính của bài viết này, chúng tôi có thể chứng minh về mặt toán học rằng hành vi tổng thể của S-SIR (về mức độ phổ biến I và R được phục hồi) chỉ khác một chút so với SIR cơ bản (3) và (4) khi bao gồm ASI với các điều kiện ban đầu, như chúng ta đã làm ở (5). Đây là bản chất của Định lý 2.1, được tìm thấy trong Phần 2 của Tệp S1. Cho xác suất p1, . . ., pJ, định lý còn đưa ra công thức tính các giá trị phù hợp của hệ số truyền (dùng để tính tỷ lệ ν trong (3)) và khả năng miễn nhiễm khử trùng nhân tạo θ (dùng trong điều kiện ban đầu (5)), như sau:

trong đó ω {0}} − θ và wj là phần tổng thể ban đầu thuộc về Sj; wj=Sj(0)/N. Minh họa đơn giản về những kết quả này được tìm thấy ở Phần 1.3 trong Tệp S1. Điều quan trọng là phải cẩn thận khi giải thích θ=1 − ω như một phần nhỏ những người thực sự có khả năng miễn dịch khử trùng, vì trên thực tế, không có sự phân chia giữa θN miễn dịch và ωN nhạy cảm, đó là lý do tại sao chúng ta đã chọn từ viết tắt ASI; miễn dịch khử trùng nhân tạo. Những kết quả này được minh họa trong Hình 1 và 2. Đặc biệt lưu ý rằng, khá đáng ngạc nhiên, ngay khi nhóm dễ bị tổn thương nhất (được dán nhãn là siêu nhạy cảm trong Hình 2) hết số cá thể mới để lây nhiễm, thì sự lây truyền ở tất cả các nhóm khác sẽ chấm dứt như Tốt. Hành vi này là điển hình, hãy xem Hình S1 trong Tệp S1 để biết ví dụ tương tự với các giá trị khác nhau. Chúng tôi cũng đã quan sát hiện tượng tương tự khi lập mô hình với SEIR và cả khi bao gồm các nhóm tuổi khác nhau và mức độ hoạt động khác nhau, sau [10]; các mô hình có nhiều lớp như vậy tạo ra đầu ra gần như không thể phân biệt được với đầu ra của SIR với ASI, tức là (3)–(5). Chúng tôi để lại dưới dạng quan sát bằng số mà chúng tôi sẽ thảo luận sâu hơn trong Phần 4. Đặc biệt, với mức ước tính của ASI θ trong một xã hội, về mặt toán học không thể đưa ra bất kỳ kết luận nào về việc θ là bao nhiêu do sự không đồng nhất về tuổi tác và hành vi gây ra, và bao nhiêu đến từ sự thay đổi về tính nhạy cảm. Ngẫu nhiên, ở cuối mỗi bài báo [1–3], Kermack và McKendrick nhấn mạnh rằng điểm yếu trong mô hình của họ là họ giả định tính nhạy cảm thống nhất, điều mà họ cho là không thực tế trong nhiều trường hợp. Tuy nhiên, có vẻ như họ chưa bao giờ giải quyết được vấn đề này và chúng tôi cũng chưa tìm thấy một phân tích toán học chặt chẽ nào về cách giải quyết tình huống này ở đâu khác trong tài liệu. Đặc biệt, công thức 1 − 1/R0 cho Ngưỡng miễn dịch bầy đàn (HIT), xuất phát từ các bài báo chuyên đề của họ, rất có thể không chính xác, như được đề xuất trong [10]. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ rút ra một phiên bản cải tiến của công thức này có tính đến ASI.

3.1 Công thức tính R0 và ngưỡng miễn dịch bầy đàn

Dễ dàng nhận thấy thời gian thế hệ Tthế hệ (được giới thiệu bên dưới (3)) trùng với thời gian trung bình mà một cá thể nhiễm bệnh vẫn còn khả năng lây nhiễm. Vì là tỷ lệ lây nhiễm nên chúng tôi kết luận rằng thế hệ R0=cho SIR tiêu chuẩn (3) và (4), giả sử một nhóm dân số hoàn toàn nhạy cảm. Tuy nhiên, khi có ASI θ, tỷ lệ lây nhiễm thực tế chỉ là (1 − θ) và do đó công thức đúng cho giá trị R0- trở thành

Giá trị trên của R{0}} là giá trị được ước tính bằng ví dụ EpiEstim [12] hoặc [13] từ chuỗi thời gian thực được tạo bởi mô hình (3) và (4) với giá trị ban đầu dữ liệu (5). Về mặt toán học, R0 được định nghĩa là số ca nhiễm mới mà một cá nhân bị nhiễm bệnh phát sinh trước khi khả năng miễn dịch do bệnh gây ra bắt đầu hình thành. (Để tính toán điều này, trước tiên hãy giải I 0 (t) {{10}} −σI(t), cho I(0)=1, nhớ lại rằng σ {{13} }/Tthế hệ, sau đó tích phân tỷ lệ mắc kết quả ν, như được cho bởi (3), trong khi vẫn giữ S(t) cố định ở S(0)=ωN.) Tương tự, người ta thấy rằng giá trị R hiệu dụng, ký hiệu là Re(t), trong mô hình trên là

Thuật ngữ “miễn dịch cộng đồng” mang nhiều ý nghĩa khác nhau [33]. Trong dịch tễ học toán học, với một mô hình nhất định và một loại vi-rút mới, Ngưỡng miễn dịch bầy đàn được định nghĩa là tổng số ca lây nhiễm và đã phục hồi cần thiết để đạt được Re(t0)=1. Từ

(nhớ lại (4)), chúng ta thấy rằng điều này trùng hợp với thời điểm mà làn sóng lây nhiễm bắt đầu rút đi một cách tự nhiên. Ngoài thời điểm này, mọi trường hợp nhập khẩu sẽ không gây ra đợt bùng phát mới. Chúng tôi biểu thị giá trị này bằng HIT.

Trong mô hình SIR, người ta giả định rằng các cá thể trộn lẫn đồng nhất và các cá thể đã hồi phục có kháng thể bảo vệ (tức là khả năng miễn dịch khử trùng). Mặc dù người ta biết rằng các kháng thể suy yếu dần theo thời gian, ít nhất là đối với SARS-CoV-2, sự suy yếu này diễn ra chậm hơn nhiều so với thời gian bùng phát [25], và do đó giả định thứ hai là hợp lý để thảo luận về ngưỡng miễn dịch của đàn trong khung thời gian ngắn hơn. Tuy nhiên, chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng sự suy giảm có nghĩa là khả năng miễn dịch bầy đàn không bao giờ là trạng thái ổn định mà sẽ mờ dần theo thời gian, và do đó thực tế là khả năng miễn dịch bầy đàn đạt được trong một đợt cụ thể không ngăn cản được các đợt trong tương lai, có thể xảy ra do kháng thể suy yếu hoặc sự xuất hiện của các biến thể mới. Bây giờ giả sử rằng mô hình SIR với mức ASI nhất định mô tả chính xác một đợt bùng phát nhất định. Khi đó Ngưỡng miễn dịch bầy đàn HIT bằng S(0)/N − S(t0)/N trong đó t0 là thời điểm đạt đến ngưỡng miễn dịch bầy đàn, có thể tìm được bằng cách giải Re(t{{10}})=1. Nói cách khác, HIT là sự khác biệt giữa tỷ lệ S(t0)/N của những người dễ mắc bệnh tại thời điểm t0 khi đạt được khả năng miễn dịch của đàn và tỷ lệ những người dễ mắc bệnh ban đầu. Trong mô hình SIR với ASI, việc giải Re(t0)=1 sẽ mang lại phương trình S(t0)/N=1/

Tthế hệ, và vì vậy chúng tôi suy ra

trong đó chúng tôi đã sử dụng công thức trước đó (9) làm định nghĩa của R0. Đây là công thức tính ngưỡng miễn dịch bầy đàn được trình bày trong phương trình (2) trong phần giới thiệu. Nó ngụ ý rằng công thức cổ điển (1), được đưa ra ước tính R0 từ ví dụ EpiEstim, đang ước tính quá cao ngưỡng miễn dịch của đàn. Quan trọng hơn, nó cho phép chúng ta dự đoán HIT, với điều kiện là tham số ASI θ=1 − ω có thể được ước tính từ dữ liệu có sẵn. Công thức cổ điển có thể gây hiểu nhầm đã được chỉ ra trước [14], và một đóng góp gần đây hơn chỉ ra rằng HIT có thể thấp hơn đáng kể so với giá trị (1) là [10]. Những công trình này minh họa điều này bằng cách đơn giản thử nghiệm các mô hình có tính không đồng nhất (chủ yếu là các mô hình pha trộn xã hội, không phải tính nhạy cảm thay đổi) và do đó nó đưa ra rất ít hướng dẫn để ước tính HIT thực tế. Theo hiểu biết của chúng tôi, công thức (2) là lần đầu tiên hiệu ứng này được đưa ra một công thức toán học. Tóm lại, chúng tôi đã suy ra được công thức mới về ngưỡng miễn dịch bầy đàn trong mô hình SIR với ASI. Vì các kết quả trong Phần 3 ngụ ý rằng đây là một xấp xỉ tốt cho SIR phân tầng độ nhạy, nên công thức trên cũng áp dụng cho mô hình này, với ω cho bởi (8). Trong Phần 4, chúng tôi chứng minh bằng số liệu rằng kết luận tương tự dường như cũng đúng đối với các tính không đồng nhất khác và do đó công thức có thể là một lựa chọn thay thế tốt hơn để ước tính ngưỡng miễn dịch bầy đàn một cách tổng quát hơn (giả sử rằng giá trị của θ có thể được suy ra từ dữ liệu có sẵn ). Điều quan trọng cần lưu ý là (10) áp dụng với giả định rằng khả năng miễn dịch đạt được nhờ sự lây lan tự nhiên. Ngưỡng miễn dịch của đàn đối với việc tiêm chủng vẫn được đưa ra theo công thức cổ điển (1) (giả sử vắc xin có khả năng miễn dịch khử trùng), được trình bày tại Mục 1.2 của Tệp S1. Điều này cho thấy rằng việc đạt được miễn dịch cộng đồng bằng tiêm chủng sẽ khó hơn nhưng cần nhiều nỗ lực hơn để thiết lập những kết quả này trong thực tế.

3.2 Giảm chấn và quy mô cuối cùng của đại dịch

Như đã đề cập trước đó, một số công trình đã chứng minh rằng mức độ nhạy cảm thay đổi có tác động làm giảm tỷ lệ lưu hành. Bằng các kết quả trên, điều này bây giờ có thể được định lượng. Giả sử ð~S; ~Tôi; ~ RÞ là một giải pháp cho SIR trong một quần thể đồng nhất và hoàn toàn nhạy cảm (vì vậy ~Sð{{0}}Þ ¼ N) và gọi ~a là tốc độ lây truyền tương ứng. Cho một giá trị cố định của ASI θ, khi đó dễ dàng thấy rằng ðS; TÔI; RÞ ¼ ðo~S; o~tôi; o~ RÞ là nghiệm của (3)–(5), trong đó ω=1 − θ và a ¼ ~a=o. Do đó, tác dụng của ASI thực sự không gì khác ngoài việc thay đổi tỷ lệ các đường cong SIR tiêu chuẩn. Lưu ý rằng việc thay đổi tỷ lệ không làm thay đổi giá trị của R0, do công thức (9) được đưa ra bởi thế hệ ¼ ~aTthế hệ trong cả hai trường hợp. Người ta biết rằng quy mô cuối cùng của đại dịch ~p ¼ ~ Rð1Þ=N trong SIR thông thường (cũng như SEIR) được đưa ra bằng cách giải 1

Do đó, kết hợp với kết quả chính của chúng tôi về việc giảm SIR phân tầng nhạy cảm thành SIR bằng ASI, chúng tôi suy ra rằng nghiệm π ở trên là một xấp xỉ tốt với quy mô cuối cùng của đại dịch đối với S-SIR với ω cho bởi (8) .

4 Mở rộng cho các mô hình tổng quát hơn

Đối với một căn bệnh như COVID-19, với thời gian ủ bệnh ngắn, sau đó là thời gian lây nhiễm thậm chí còn ngắn hơn, chỉ có sự khác biệt nhỏ giữa việc lập mô hình bằng SIR và sử dụng SEIR và do đó chúng tôi tin rằng các kết luận chính của bài viết này mở rộng cũng theo mô hình này. Tương tự như vậy, chúng tôi đã phát hiện về mặt số lượng rằng các mô hình SEIR tiên tiến hơn có tính đến độ tuổi và mức độ hoạt động khác nhau, hoạt động giống như SIR nếu chúng tôi kết hợp ASI. Chúng tôi coi việc xác minh chính thức những quan sát này là một phỏng đoán mở và tự hài lòng với việc đưa ra một số ví dụ.

4.1 SEIR

SEIR có hai thông số chính ngoài R0, đó là Tininfious và Tincubation, trong đó thông số trước là thời gian trung bình mà một người lây nhiễm và thông số sau là thời gian từ khi một người bị nhiễm bệnh cho đến khi người đó bắt đầu lây nhiễm. Ước tính cho những điều này khác nhau, ở đây chúng tôi theo dõi Britton et. al. [10] và đặt Tincubation=4 và Tinfectious=3. Khi đó, thời gian thế hệ bằng

trong đó thời gian thế hệ là thời gian trung bình từ khi một người bị nhiễm bệnh cho đến khi người đó lây nhiễm cho người khác (xem phương trình (5) trong tài liệu bổ sung cho [30] để có cách dẫn xuất chính thức). Lưu ý rằng điều này phù hợp với việc lựa chọn Thế hệ T ở các phần trước. Lý do SEIR và SIR đưa ra kết quả gần như giống hệt nhau cho COVID-19 là vì cả hai đều chủ yếu được xác định bởi các giá trị của Generation và R0. Nói một cách ngắn gọn, trong một đợt bùng phát lớn, việc một người bị bệnh trong 7 ngày và lây nhiễm R0 cho người trong 7 ngày đó hay không, hay người đó ủ bệnh trong 4 ngày rồi lây nhiễm R{{11} } người trong 3 ngày còn lại. Ví dụ, hãy xem Hình 3(a); chúng tôi thấy một hành vi rất giống nhau bằng cách chọn tham số cho SIR và SEIR theo các công thức trên (với R0 cố định). Hơn nữa, bằng cách cho phép các tham số tự do, SIR có thể được thực hiện để hoạt động gần giống như SEIR (thậm chí không liên quan đến ASI). Để hỗ trợ cho tuyên bố này, không phải sự chồng chéo gần như hoàn hảo giữa các đường cong màu xanh lam và đen trong Hình 3, đã đạt được bằng cách giữ cố định Tái sinh và sửa đổi R0 thêm một phần trăm. Vì giá trị chính xác của các tham số đầu vào không được xác định trên thực tế nên chúng tôi lập luận rằng việc sử dụng SIR hay SEIR là không liên quan, ít nhất là để lập mô hình SARS-CoV{15}} và các vi-rút có đặc điểm tương tự. Do đó, những quan sát của bài viết này cũng sẽ mở rộng sang SEIR, ngay cả khi chúng ta chưa thể thiết lập điều này về mặt toán học.

4.2 Mô hình không đồng nhất

Tính nhạy cảm thay đổi không phải là loại tính không đồng nhất về dân số duy nhất có thể biểu hiện dưới dạng ASI ở cấp độ vĩ mô. Trong [10], các tác giả đã phát triển một mô hình SEIR không đồng nhất có tính đến các mô hình tương tác khác nhau giữa các nhóm tuổi khác nhau, cũng như thực tế là mọi người ở mỗi nhóm tuổi có số lượng liên hệ khác nhau. Chúng tôi đã triển khai mô hình của họ và sau đó tìm kiếm các tham số cho SIR với ASI để mang lại kết quả đầu ra tương tự. Kết quả được thể hiện trong Hình 3(b). Một lần nữa, sự khác biệt quá nhỏ đến mức không thể phát hiện ra trong thực tế. Do đó, trên thực tế, những gì có thể xuất hiện dưới dạng mức độ miễn dịch dân số (trước) nhất định trong các mô hình toán học có thể là sự kết hợp của nhiều tính không đồng nhất về dân số, trong đó tính nhạy cảm thay đổi chỉ là một thành phần.

Hình 3. Các phép tính gần đúng sử dụng SIR với ASI. (a) SEIR với R0=1.66 và Tinfectious + Tinfective=7 (màu xanh), SIR có cùng R0 và Tthế hệ=7 (màu đỏ) và cuối cùng là SIR với R0 thấp hơn 1%, cùng thế hệ T (màu đen). (b) SEIR phân tầng hoạt động theo độ tuổi với R{{10}}.66 và Tinfectious + Tinfective=7 (màu xanh); SIR sử dụng cùng một thế hệ T nhưng ASI là 25% và R0 hơi khác (màu đen).

5 Thảo luận

Có thể có nhiều lý do khiến một số người dễ bị nhiễm một loại vi-rút mới hơn những người khác, từ khả năng miễn dịch bẩm sinh và thích nghi đến khả năng miễn dịch phản ứng chéo với các loại vi-rút đã biết khác cũng như sự khác biệt về di truyền. Đối với một căn bệnh mới, việc khử trùng tiền miễn dịch, tức là những cá nhân hoàn toàn miễn dịch mà chưa từng nhiễm vi rút, rất có thể không tồn tại. Điểm mấu chốt của nghiên cứu này là không cần thiết phải khử trùng khả năng miễn dịch cá nhân để quan sát những gì trông giống như khả năng miễn dịch khử trùng ở cấp độ dân số, mà chúng tôi đã đặt ra ASI; miễn dịch khử trùng nhân tạo. Về mặt toán học, chúng tôi chứng minh rằng, để có ASI, chúng tôi chỉ cần có sự thay đổi vừa phải về độ nhạy cảm. Hơn nữa, chúng tôi chứng minh bằng số liệu rằng các loại hình không đồng nhất về dân số khác, chẳng hạn như các mô hình pha trộn xã hội khác nhau, cũng biểu hiện dưới dạng ASI.

cistanche thực vật tăng cường hệ thống miễn dịch

Những phát hiện trong bài viết này không chỉ giới hạn ở SARS-CoV-2 mà về cơ bản cho thấy các công thức cổ điển về ngưỡng miễn dịch bầy đàn và các mô hình lây lan các bệnh truyền nhiễm có nguồn gốc từ bài báo nổi tiếng của Kermack và McKendrick [1 ] không thể lập mô hình bất kỳ bệnh truyền nhiễm nào có độ nhạy cảm thay đổi lớn và cần được sửa đổi như mô tả trong Phần 3.1. Việc ước tính ngưỡng miễn dịch đàn HIT là rất quan trọng để lập kế hoạch và quản lý kiểm soát dịch bệnh hiệu quả. Ví dụ: nếu một xã hội quyết định phong tỏa trước khi đạt HIT, thì gần như chắc chắn rằng dịch bệnh sẽ tái phát trừ khi NPI được duy trì vô thời hạn. Công thức cổ điển (1) vẫn được sử dụng rất nhiều, mặc dù thực tế là nó dựa vào một số giả định đơn giản hóa quá mức có thể dẫn đến chỉ dẫn sai lầm. Chúng tôi đã thiết lập một công thức mới mà chúng tôi chứng minh là có thể áp dụng khi có tính nhạy cảm thay đổi. Vì chúng tôi chỉ ra rằng mô hình đơn giản hóa của chúng tôi, SIR với ASI, dường như cũng là một sự thay thế tốt cho các mô hình liên quan đến các mô hình pha trộn xã hội có thể thay đổi, nên có thể (2) áp dụng tổng quát hơn những gì chúng tôi có thể chứng minh bằng toán học.

Người giới thiệu

1. Kermack WO, McKendrick AG. Một đóng góp cho lý thuyết toán học về dịch bệnh. Kỷ yếu của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn Series A, Bao gồm các bài báo có tính chất toán học và vật lý. 1927; 115(772):700–721.

2. Kermack WO, McKendrick AG. Những đóng góp cho lý thuyết toán học về dịch bệnh II. Vấn đề về tính đặc hữu. Kỷ yếu của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn Series A, bao gồm các bài báo có tính chất toán học và vật lý. 1932; 138(834):55–83.

3. Kermack WO, McKendrick AG. Những đóng góp cho lý thuyết toán học về dịch bệnh III. Các nghiên cứu sâu hơn về vấn đề lưu hành. Kỷ yếu của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn Series A, chứa các bài báo có tính chất toán học và vật lý. 1933; 141(843):94–122.

4. Carlsson M, So¨derberg-Naucle´r C. COVID-19 kết quả mô hình hóa so với thực tế ở Thụy Điển Virus 2022, 14(8), MDPI https://doi.org/10.3390/v14081840 PMID: 36016462

5. Diekmann O, Heesterbeek H, Britton T. Các công cụ toán học để hiểu động lực học của bệnh truyền nhiễm. Trong: Công cụ toán học để tìm hiểu động lực học của bệnh truyền nhiễm. Nhà xuất bản Đại học Princeton; 2012.

6. Động lực học Gerasimov A, Lebedev G, Lebedev M, Semenycheva I. COVID{1}}: một mô hình không đồng nhất. Biên giới trong y tế công cộng. 2021; 8:911. https://doi.org/10.3389/fpubh.2020.558368 PMID: 33585377

7. Hickson R, Roberts M. Sự không đồng nhất về tính nhạy cảm và khả năng lây nhiễm của quần thể ảnh hưởng như thế nào đến diễn biến dịch bệnh. Tạp chí Sinh học lý thuyết. 2014; 350: 70–80. https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2014.01.014 PMID: 24444766

8. Miller JC. Quy mô và xác suất dịch bệnh ở các quần thể có khả năng lây nhiễm và nhạy cảm không đồng nhất. Đánh giá vật lý E. 2007; 76(1):010101. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.76.010101 PMID: 17677396

9. Miller JC. Một lưu ý về nguồn gốc của kích thước dịch bệnh cuối cùng. Bản tin sinh học toán học. 2012; 74 (9):2125–2141. https://doi.org/10.1007/s11538-012-9749-6 PMID: 22829179

10. Britton T, Ball F, Trapman P. Một mô hình toán học cho thấy ảnh hưởng của tính không đồng nhất của quần thể đến khả năng miễn dịch của đàn đối với SARS-CoV-2. Khoa học. 2020; 369(6505):846–849. https://doi.org/10.1126/ science.abc6810 PMID: 32576668

11. Rousse F và cộng sự. Vai trò của các chất siêu lây lan trong mô hình SARS-CoV-2. Mô hình bệnh truyền nhiễm (2022). https://doi.org/10.1016/j.idm.2022.10.003 PMID: 36267691

12. Thompson R, Stockwin J, van Gaalen RD, Polonsky J, Kamvar Z, Demarsh P, và những người khác. Cải thiện suy luận về số lượng sinh sản thay đổi theo thời gian trong các đợt bùng phát bệnh truyền nhiễm. Dịch bệnh. 2019; 29:100356. https://doi.org/10.1016/j.epidem.2019.100356 PMID: 31624039

13. Cori A, Ferguson NM, Fraser C, Cauchemez S. Một khuôn khổ và phần mềm mới để ước tính số lượng sinh sản thay đổi theo thời gian trong thời kỳ dịch bệnh. Tạp chí dịch tễ học của Mỹ. 2013; 178(9):1505–1512. https://doi.org/10.1093/aje/kwt133 PMID: 24043437

14. Fox JP, Elveback L, Scott W, Gatewood L, Ackerman E. Miễn dịch bầy đàn: khái niệm cơ bản và sự liên quan đến thực hành tiêm chủng y tế công cộng. Tạp chí dịch tễ học của Mỹ. 1971; 94(3):179–189. https://doi.org/10.1093/oxfordjournals.aje.a121310 PMID: 5093648

15. Dee K, Goldfarb DM, Haney J, Amat JA, Herder V, Stewart M, và cộng sự. Nhiễm virus rhovirus ở người ngăn chặn sự sao chép của SARS-CoV-2 trong biểu mô đường hô hấp: tác động đối với dịch tễ học COVID-19. Tạp chí bệnh truyền nhiễm. 2021. https://doi.org/10.1093/infdis/jiab147 PMID: 33754149

16. Ng KW, Faulkner N, Cornish GH, Rosa A, Harvey R, Hussain S, et al. Khả năng miễn dịch dịch thể hiện có và mới đối với SARS-CoV-2 ở người. Khoa học. 2020; 370(6522):1339–1343. https://doi.org/10.1126/ science.abe1107 PMID: 33159009

17. Zeberg H, Pa¨a¨bo S. Một vùng gen có liên quan đến khả năng bảo vệ chống lại bệnh COVID nghiêm trọng-19 được thừa hưởng từ người Neandertals. Kỷ yếu của Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia. 2021; 118(9). https://doi.org/10. 1073/pans.2026309118 PMID: 33593941

18. Kundu, Rhia và cộng sự. Các tế bào T bộ nhớ phản ứng chéo liên kết với khả năng bảo vệ chống lại sự lây nhiễm SARS-CoV-2 ở những người tiếp xúc với COVID-19. Truyền thông Tự nhiên 13.1 (2022): 1–8. https://doi.org/10.1038/s41467- 021-27674-x PMID: 35013199

19. Brauer F, Castillo-Chavez C, Feng Z. Các mô hình toán học trong Dịch tễ học. lò xo; 2019.

20. Walker PG, Whittaker C, Watson OJ, Baguelin M, Winskill P, Hamlet A, và cộng sự. Tác động của COVID-19 và các chiến lược giảm thiểu và ngăn chặn ở các quốc gia có thu nhập thấp và trung bình. Khoa học. 2020. https://doi.org/10.1126/science.abc0035 PMID: 32532802

21. Sjo¨din H, Johansson AF, Bra¨nnstro¨m Å, Farooq Z, Kriit HK, Wilder-Smith A, et al. Nhu cầu chăm sóc sức khỏe và tỷ lệ tử vong do COVID-19 ở Thụy Điển nhằm đáp ứng các kịch bản ngăn chặn và giảm thiểu phi dược phẩm. Tạp chí quốc tế về dịch tễ học. 2020. https://doi.org/10.1093/ije/dyaa121 PMID: 32954400

22. Hassan Md Nazmul, và cộng sự. Mô hình toán học và dự báo Covid-19 ở Texas, Hoa Kỳ: phân tích mô hình dự đoán và xác suất bùng phát dịch bệnh. Y học thiên tai và chuẩn bị y tế công cộng (2021): 1–12. https://doi.org/10.1017/dmp.2021.151 PMID: 34006346

23. Mahmud Md Shahriar, và cộng sự. Hiệu quả của vắc xin và việc kiểm soát sars-cov-2 ở California và chúng tôi trong phiên họp 2020-2026: Một nghiên cứu mô hình. Mô hình bệnh truyền nhiễm 7.1 (2022): 62–81. https://doi.org/10. 1016/j.idm.2021.11.002 PMID: 34869959

24. Gudbjartsson DF, Norddahl GL, Melsted P, Gunnarsdottir K, Holm H, Eythorsson E, và cộng sự. Phản ứng miễn dịch thể dịch đối với SARS-CoV-2 ở Iceland. Tạp chí Y học New England. 2020; 383(18):1724– 1734. https://doi.org/10.1056/NEJMoa2026116 PMID: 32871063

25. Dan JM, Mateus J, Kato Y, Hastie KM, Yu ED, Faliti CE, và cộng sự. Bộ nhớ miễn dịch đối với SARS-CoV-2 được đánh giá trong tối đa 8 tháng sau khi nhiễm bệnh. Khoa học. 2021. https://doi.org/10.1126/science.abf4063 PMID: 33408181

26. Miễn dịch sau 9 tháng. Thông cáo báo chí của bệnh viện Danderyds. Webbadress: www.ds.se/jobbahos-oss/mot-oss/bred-immunitet-efter-nio-manader/

27. Dân ca. Påvisning av antikroppar sau genomgången COVID-19 và blodprov från o¨ppenvården.

28. Madewell ZJ, Yang Y, Longini IM, Halloran ME, Dean NE. Sự lây truyền SARS-CoV trong gia đình-2: đánh giá hệ thống và phân tích tổng hợp. Mạng JAMA mở. 2020; 3(12):e2031756–e2031756. https:// doi.org/10.1001/jamanetworkopen.2020.31756 PMID: 33315116

29. Ferguson N, Laydon D, Nedjati-Gilani G, Imai N, Ainslie K, Baguelin M, và những người khác. Báo cáo 9: Tác động của các biện pháp can thiệp phi dược phẩm (NPI) nhằm giảm tỷ lệ tử vong do COVID-19 và nhu cầu chăm sóc sức khỏe. Đại học Hoàng gia Luân Đôn. 2020; 10(77482):491–497.

30. Carlsson M, Hatem G, So¨derberg-Naucle'r C. Mô hình toán học cho thấy khả năng miễn dịch đã có từ trước đối với SARS-CoV-2. medRxiv. 2021.

31. Doshi P. Covid-19: Có nhiều người có khả năng miễn dịch từ trước không? Bmj. 2020; 370. PMID: 32943427

32. Jones TC, Biele G, Mu¨hlemann B, Veith T, Schneider J, Beheim-Schwarzbach J, et al. Ước tính khả năng lây nhiễm trong suốt quá trình lây nhiễm SARS-CoV-2. Khoa học. 2021. https://doi.org/10.1126/science. abi5273 PMID: 34035154

33. Fine P, Eames K, Heymann DL. "Miễn dịch bầy đàn": hướng dẫn sơ bộ. Bệnh truyền nhiễm lâm sàng. 2011; 52 (7):911–916. https://doi.org/10.1093/cid/cir007 PMID: 21427399